62 1B Afbeelding 1b.2 y = ax2 - bx + c een Voorbeeld van een Berg- en een Dalparabool In deze vergelijkingen is er geen afhankelijkheid van de input van een eerdere waarde van de variabele op die van de volgende. Er is geen tijdsafhankelijkheid en daarom zijn deze vergelijkingen (of functies) analytisch oplosbaar. In systemen waarin ontwikkeling plaatsvindt en die ook beschreven kunnen worden met een wiskundige vergelijking is er meestal wel een afhankelijkheid van de tijdsfactor. Dat wil zeggen de waarde van een variabele wordt medebepaald door de waarde van die variabele een moment eerder. In de volgende paragraaf wordt dit uitgelegd. Deterministische chaotische systemen In tegenstelling tot hierboven beschreven vergelijkingen van een systeem, kunnen er ook systemen beschreven worden waarbij niet zozeer de variabele x, uitkomst y bepaalt, maar waarbij een variabele x zichzelf bepaalt, maar dan een moment later. Dit worden tijdsafhankelijke vergelijkingen genoemd. Het misschien wel bekendste voorbeeld daarvan is de zogenoemde kwadratische recurrente vergelijking: x(t+1) = R * x(t) * (1-x(t)). In deze vergelijking zien we geen variabele y, slechts een variabele x en een constante R. De x(t) verwijst naar de waarde van x op moment t. De x(t+1) verwijst naar een waarde van x op een moment later dan t. Hiermee zien we dat de ontwikkeling van de variabele x uitsluitend bepaald wordt door de waarden die deze eerder in de tijd had (en uiteraard de constante R). Daarom spreken we van een feedbackmechanisme; de waarden worden immers teruggekoppeld, wat er op haar beurt weer voor zorgt dat de formule niet-lineair is. De vergelijking wordt ook wel iteratief genoemd, omdat de formule herhalend is. Dezelfde berekening wordt telkens weer op de voorgaande waarde uitgevoerd. Het voorspellen van een waarde in de toekomst is daarmee volstrekt bepaald door de waarde eerder in de tijd; voor de waarde van x(t+9) hebben we de waarde van x(t+8) nodig en daarvoor weer de waarde van x(t+7), etc. Als we deze waarde niet kennen, kunnen we dus niet voorspellen hoe deze zich in de toekomst zal gaan ontwikkelen. Stel dat we de beginwaarde wel weten, dan moeten we ook rekening houden met de constante R, deze bepaalt ook mede het verloop van de ontwikkeling van het systeem dat door deze formule wordt beschreven.
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk4NDMw