63 SYSTEMISCH ONTWIKKELINGSPERSPECTIEF In Afbeelding 1b.3 worden enkele voorbeelden van de kwadratische recurrente vergelijkingen getoond met verschillende waarden voor R. Deze vergelijking zou een fictieve dierpopulatie kunnen zijn, waarbij R staat voor de groeifactor van die populatie en x(t) representeert de grootte van de populatie op tijdstip t. De beginwaarden x(t) in alle vergelijkingen is dezelfde. Als de groeifactor R de waarde 1 heeft, dan blijkt de populatie dieren uit te sterven, blijkend uit het verloop van de donkerblauwe lijn. Als R = 2 (paarse lijn) dan stabiliseert de grootte van de populatie. Is R = 3 (gele lijn) dan zien we dat deze aanvankelijk stijgt, om vervolgens te gaan fluctueren tussen twee waarden, om na verloop van tijd naar een vaste waarde toe te gaan. Bij de waarde van R = 3,9 (lichtblauwe lijn) zien we een interessant verschijnsel. Het regelmatige, voorspelbare patroon maakt plaats voor een onvoorspelbaar verloop. Bedenk dat in al deze vergelijkingen slechts één variabele is opgenomen, namelijk de groeifactor. In werkelijkheid spelen natuurlijk veel meer factoren een rol in fluctuaties van dierpopulaties zoals de hoeveelheid voedsel dat voorhanden is, de aanwezigheid van het aantal roofdieren, klimaatveranderingen en tal van andere variabelen waar we geen weet van hebben. Afbeelding 1b.3 X(t+1) = R* X(t)*(1-X(t)). Kwadratische Recurrente Functies met Verschillende Waarden van R Niet alleen de constante R bepaalt de ontwikkeling in de tijd van dit systeem, ook de beginwaarde van het systeem heeft invloed op het verloop. In Afbeelding 1b.4 laten we zien hoe een klein verschil in beginwaarde x(t) tot twee heel verschillende ontwikkelingen leidt. In deze twee uitwerkingen van de kwadratische recurrente vergelijking is R constant gehouden en gelijk aan 4. Van de blauwe lijn is de beginwaarde x(t) = 0,523423. Van de paarse lijn is x(t) = 0,523424. Het 6e cijfer achter de komma maakt het verschil uit tussen de twee beginwaarden; een miniem verschil van 0,00019%. Het patroon van beide grafieken lijkt in het begin nog wel gelijk op te gaan, maar naarmate de tijd verstrijkt ontstaat er voor beiden een heel ander patroon. De waarde van x(t=1) is uiteraard altijd door te rekenen, gegeven een beginwaarde en kennis over de constante 1B
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk4NDMw